Hookův zákon objevil v 17. století Angličan Robert Hooke. Tento objev o natahování pružiny je jedním ze zákonů teorie pružnosti a hraje důležitou roli ve vědě a technice.

Definice a vzorec Hookova zákona

Formulace tohoto zákona je následující: pružná síla, která se objeví v okamžiku deformace tělesa, je úměrná prodloužení tělesa a směřuje opačně k pohybu částic tohoto tělesa vzhledem k ostatním částicím během deformace.

Matematický zápis zákona vypadá takto:

Rýže. 1. Vzorec Hookova zákona

Kde Fupr– v souladu s tím pružná síla, X– prodloužení tělesa (vzdálenost, o kterou se změní původní délka tělesa), a k– koeficient proporcionality, nazývaný tuhost karoserie. Síla se měří v Newtonech a prodloužení tělesa se měří v metrech.

Chcete-li odhalit fyzikální význam tuhosti, musíte nahradit jednotku, ve které se měří prodloužení, ve vzorci pro Hookeův zákon - 1 m, poté, co jste předtím získali výraz pro k.

Rýže. 2. Vzorec tuhosti těla

Tento vzorec ukazuje, že tuhost tělesa je číselně rovna pružné síle, která vzniká v tělese (pružině) při jeho deformaci o 1 m. Je známo, že tuhost pružiny závisí na jejím tvaru, velikosti a materiálu. ze kterého je tělo vyrobeno.

Elastická síla

Nyní, když víme, jaký vzorec vyjadřuje Hookeův zákon, je nutné pochopit jeho základní hodnotu. Hlavní veličinou je elastická síla. Objevuje se v určitém okamžiku, kdy se těleso začíná deformovat, například při stlačení nebo natažení pružiny. Je nasměrován opačným směrem než gravitace. Když se pružná síla a gravitační síla působící na těleso vyrovnají, podpěra a těleso se zastaví.

Deformace je nevratná změna, ke které dochází ve velikosti těla a jeho tvaru. Jsou spojeny s pohybem částic vůči sobě navzájem. Pokud člověk sedí v měkké židli, dojde k deformaci židle, to znamená, že se změní její vlastnosti. Dodává se v různých typech: ohýbání, natahování, komprese, smyk, torze.

Protože elastická síla má původ v elektromagnetických silách, měli byste vědět, že vzniká v důsledku skutečnosti, že molekuly a atomy - nejmenší částice, které tvoří všechna těla - se navzájem přitahují a odpuzují. Pokud je vzdálenost mezi částicemi velmi malá, pak na ně působí odpudivá síla. Pokud se tato vzdálenost zvětší, bude na ně působit přitažlivá síla. Rozdíl mezi přitažlivými a odpudivými silami se tedy projevuje v pružných silách.

Elastická síla zahrnuje reakční sílu země a tělesnou hmotnost. Síla reakce je zvláště zajímavá. To je síla, která působí na těleso, když je umístěno na jakýkoli povrch. Pokud je těleso zavěšeno, pak se síla působící na něj nazývá tažná síla závitu.

Vlastnosti elastických sil

Jak jsme již zjistili, elastická síla vzniká při deformaci a je zaměřena na obnovení původních tvarů a velikostí přísně kolmých k deformovanému povrchu. Elastické síly mají také řadu vlastností.

• vznikají při deformaci;
• objevují se ve dvou deformovatelných tělesech současně;
• jsou kolmé k povrchu, vůči kterému je těleso deformováno.
• jsou ve směru opačném k posunu tělesných částic.

Aplikace práva v praxi

Hookeův zákon se uplatňuje jak v technických a high-tech zařízeních, tak v přírodě samotné. Pružné síly se nacházejí například v mechanizmech hodinek, v tlumičích v dopravě, v lanech, gumičkách a dokonce i v lidských kostech. Princip Hookova zákona je základem dynamometru, zařízení používaného k měření síly.

Hookův zákon obvykle nazývané lineární vztahy mezi složkami přetvoření a složkami napětí.

Vezměme si elementární pravoúhlý rovnoběžnostěn s plochami rovnoběžnými se souřadnicovými osami, zatíženými normálovým napětím σ x, rovnoměrně rozložené na dvou protilehlých plochách (obr. 1). V čem σy = σ z = τ x y = τ x z = τ yz = 0.

Do meze úměrnosti je poměrné prodloužení dáno vzorcem

Kde E— modul pružnosti v tahu. Pro ocel E = 2*10 5 MPa, proto jsou deformace velmi malé a měří se v procentech nebo 1 * 10 5 (v tenzometrických zařízeních, která měří deformace).

Prodloužení prvku ve směru osy X provázené jeho zužováním v příčném směru, určovaným deformačními složkami

Kde μ - konstanta zvaná boční kompresní poměr nebo Poissonův poměr. Pro ocel μ obvykle se považuje za 0,25-0,3.

Pokud je příslušný prvek zatěžován současně s normálovými napětími σx, σy, σ z, rovnoměrně rozložené podél jeho ploch, pak se přidají deformace

Superpozicí složek deformace způsobených každým ze tří napětí získáme vztahy

Tyto vztahy jsou potvrzeny četnými experimenty. Aplikovaný překryvná metoda nebo superpozice najít celková přetvoření a napětí způsobená několika silami je legitimní, pokud jsou přetvoření a napětí malá a lineárně závislá na použitých silách. V takových případech zanedbáváme malé změny rozměrů deformovaného tělesa a malé pohyby bodů působení vnějších sil a při výpočtech vycházíme z počátečních rozměrů a výchozího tvaru tělesa.

Je třeba poznamenat, že malá velikost posunů nemusí nutně znamenat, že vztahy mezi silami a deformacemi jsou lineární. Tedy například ve stlačené síle Q tyč zatížená dodatečně smykovou silou R i při malém vychýlení δ vzniká další bod M = Q5, což dělá problém nelineárním. V takových případech nejsou celkové průhyby lineárními funkcemi sil a nelze je získat jednoduchou superpozicí.

Experimentálně bylo zjištěno, že pokud smyková napětí působí podél všech ploch prvku, pak zkreslení odpovídajícího úhlu závisí pouze na odpovídajících složkách smykového napětí.

Konstantní G nazývaný smykový modul pružnosti nebo smykový modul.

Obecný případ deformace prvku působením tří normálových a tří tečných složek napětí na něj lze získat pomocí superpozice: tři smykové deformace, určené vztahy (5.2b), jsou superponovány na tři lineární deformace určené výrazy ( 5.2a). Rovnice (5.2a) a (5.2b) určují vztah mezi složkami přetvoření a napětí a jsou tzv. zobecněný Hookův zákon. Nyní ukažme, že smykový modul G vyjádřeno jako modul pružnosti v tahu E a Poissonův poměr μ . Chcete-li to provést, zvažte zvláštní případ, kdy σ x = σ , σy = -σ A σ z = 0.

Vystřihneme prvek abeceda roviny rovnoběžné s osou z a skloněné pod úhlem 45° k osám X A na(obr. 3). Jak vyplývá z podmínek rovnováhy prvku 0 bс, normální stres σ proti na všech stranách živlu abeceda jsou rovny nule a smyková napětí jsou stejná

Tento stav napětí se nazývá čistý střih. Z rovnic (5.2a) vyplývá, že

to znamená, že prodloužení vodorovného prvku je 0 C rovná se zkrácení svislého prvku 0 b: εy = -ε x.

Úhel mezi tvářemi ab A před naším letopočtem změny a odpovídající hodnotu smykového přetvoření γ lze zjistit z trojúhelníku 0 bс:

Z toho vyplývá, že

Jak víte, fyzika studuje všechny přírodní zákony: od nejjednodušších po nejobecnější principy přírodních věd. I v těch oblastech, kde by se zdálo, že fyzika není schopna porozumět, stále hraje primární roli a každý sebemenší zákon, každý princip – nic jí neunikne.

V kontaktu s

Je to fyzika, která je základem základů, to je to, co leží u počátků všech věd.

Fyzika studuje interakci všech těles, jak paradoxně malé, tak neuvěřitelně velké. Moderní fyzika aktivně studuje nejen malá, ale hypotetická tělesa, a i to vrhá světlo na podstatu vesmíru.

Fyzika je rozdělena do sekcí, to zjednodušuje nejen samotnou vědu a její pochopení, ale i metodologii studia. Pohybem těles a interakcí pohybujících se těles se zabývá mechanika, tepelnými procesy termodynamika, elektrickými procesy elektrodynamika.

Proč by měla mechanika studovat deformaci?

Když mluvíme o kompresi nebo napětí, měli byste si položit otázku: která oblast fyziky by měla tento proces studovat? Při silných deformacích se může uvolňovat teplo, možná by se s těmito procesy měla zabývat termodynamika? Někdy se při stlačování kapalin začne vařit a při stlačování plynů se tvoří kapaliny? Měla by tedy hydrodynamika rozumět deformaci? Nebo molekulární kinetická teorie?

Na všem záleží na síle deformace, na jejím stupni. Pokud to deformovatelné médium (materiál, který je stlačený nebo natažený) umožňuje a stlačení je malé, má smysl považovat tento proces za pohyb některých bodů těla vzhledem k jiným.

A jelikož je otázka čistě související, znamená to, že se s ní mechanici vypořádají.

Hookův zákon a podmínka jeho naplnění

V roce 1660 objevil slavný anglický vědec Robert Hooke jev, kterým lze mechanicky popsat proces deformace.

Abychom pochopili, za jakých podmínek je Hookův zákon splněn, Omezme se na dva parametry:

• Středa;
• platnost.

Existují média (například plyny, kapaliny, zejména viskózní kapaliny blízké pevnému skupenství nebo naopak velmi tekuté kapaliny), u kterých nelze proces mechanicky popsat. Naopak existují prostředí, ve kterých při dostatečně velkých silách mechanika přestane „fungovat“.

Důležité! Na otázku: "Za jakých podmínek platí Hookeův zákon?", lze jednoznačně odpovědět: "Při malých deformacích."

Hookův zákon, definice: Deformace, ke které dochází v tělese, je přímo úměrná síle, která tuto deformaci způsobuje.

Z této definice přirozeně vyplývá, že:

• komprese nebo natažení je malé;
• elastický předmět;
• skládá se z materiálu, ve kterém nedochází k nelineárním procesům v důsledku tlaku nebo tahu.

Hookeův zákon v matematické podobě

Hookova formulace, kterou jsme citovali výše, ji umožňuje zapsat v následující podobě:

kde je změna délky tělesa v důsledku stlačení nebo natažení, F je síla působící na těleso a způsobující deformaci (elastická síla), k je koeficient pružnosti, měřený v N/m.

Je třeba mít na paměti, že Hookův zákon platí pouze pro malé úseky.

Také si všimneme, že má stejný vzhled, když je natažený a stlačený. Vzhledem k tomu, že síla je vektorová veličina a má směr, pak v případě komprese bude přesnější následující vzorec:

Vše ale opět záleží na tom, kam bude směřovat osa vůči které měříte.

Jaký je zásadní rozdíl mezi kompresí a extenzí? Nic, pokud je to bezvýznamné.

Stupeň použitelnosti lze považovat za následující:

Věnujme pozornost grafu. Jak vidíme, při malých úsecích (první čtvrtina souřadnic) má síla se souřadnicí po dlouhou dobu lineární vztah (červená čára), ale pak se skutečný vztah (tečkovaná čára) stává nelineárním a zákon přestává být pravdou. V praxi se to projeví tak silným natažením, že se pružina přestane vracet do původní polohy a ztrácí své vlastnosti. S ještě větším protažením dojde k lomu a konstrukce se zhroutí materiál.

S malými kompresemi (třetí čtvrtina souřadnic) má síla se souřadnicí po dlouhou dobu také lineární vztah (červená čára), ale pak se skutečný vztah (tečkovaná čára) stane nelineární a vše přestane znovu fungovat. V praxi to má za následek tak silnou kompresi, že začne se uvolňovat teplo a pružina ztrácí své vlastnosti. Při ještě větším stlačení se závity pružiny „slepí“ a ta se začne vertikálně deformovat a následně zcela roztavit.

Jak vidíte, vzorec vyjadřující zákon vám umožňuje najít sílu, když znáte změnu délky těla, nebo když znáte elastickou sílu, změřte změnu délky:

V některých případech můžete také najít koeficient pružnosti. Chcete-li pochopit, jak se to dělá, zvažte příklad úlohy:

K pružině je připojen dynamometr. Byl natažen působením síly 20, díky čemuž se stal 1 metr dlouhý. Pak ji pustili, počkali, až vibrace ustanou a ona se vrátí do normálního stavu. V normálním stavu byla jeho délka 87,5 centimetru. Zkusme zjistit, z jakého materiálu je pružina vyrobena.

Zjistíme číselnou hodnotu deformace pružiny:

Odtud můžeme vyjádřit hodnotu koeficientu:

Při pohledu do tabulky můžeme zjistit, že tento ukazatel odpovídá pružinové oceli.

Problém s koeficientem pružnosti

Fyzika, jak víme, je velmi přesná věda, navíc je tak přesná, že vytvořila celé aplikované vědy, které měří chyby. Modelka s neochvějnou přesností, nemůže si dovolit být nemotorná.

Praxe ukazuje, že lineární závislost, kterou jsme uvažovali, není nic jiného než Hookův zákon pro tenkou a tažnou tyč. Pouze výjimečně lze použít pro pružiny, ale i to je nežádoucí.

Ukazuje se, že koeficient k je proměnná hodnota, která závisí nejen na tom, z jakého materiálu je těleso vyrobeno, ale také na průměru a jeho lineárních rozměrech.

Z tohoto důvodu naše závěry vyžadují objasnění a rozpracování, protože jinak platí:

nelze nazvat nic jiného než závislost mezi třemi proměnnými.

Youngův modul

Zkusme zjistit koeficient pružnosti. Tento parametr, jak jsme zjistili, závisí na třech veličinách:

• materiál (který nám docela vyhovuje);
• délka L (která udává její závislost na);
• oblast S.

Důležité! Pokud se nám tedy podaří od koeficientu nějak „oddělit“ délku L a plochu S, získáme koeficient zcela závislý na materiálu.

Co víme:

• čím větší je plocha průřezu těla, tím větší je koeficient k a závislost je lineární;
• čím větší je délka tělesa, tím nižší je koeficient k a závislost je nepřímo úměrná.

To znamená, že koeficient pružnosti můžeme zapsat takto:

kde E je nový koeficient, který nyní přesně závisí pouze na typu materiálu.

Představme si pojem „relativní prodloužení“:

. 

Závěr

Formulujme Hookeův zákon pro tah a tlak: U malých stlačení je normálové napětí přímo úměrné prodloužení.

Koeficient E se nazývá Youngův modul a závisí výhradně na materiálu.

Ministerstvo školství Autonomní republiky Krym

Tauridská národní univerzita pojmenovaná po. Vernadského

Studium fyzikálního zákona

HOOKEŮV ZÁKON

Vyplnil: student 1. ročníku

Fyzikální fakulta gr. F-111

Potapov Jevgenij

Simferopol-2010

Plán:

Souvislost mezi jakými jevy nebo veličinami vyjadřuje zákon.

Vyjádření zákona

Matematické vyjádření zákona.

Jak byl zákon objeven: na základě experimentálních dat nebo teoreticky?

Zažitá fakta, na základě kterých byl zákon formulován.

Experimenty potvrzující platnost zákona formulovaného na základě teorie.

Příklady použití zákona a zohlednění účinku zákona v praxi.

Literatura.

Vztah mezi jakými jevy nebo veličinami vyjadřuje zákon:

Hookeův zákon dává do souvislosti jevy, jako je napětí a deformace pevné látky, modul pružnosti a prodloužení. Modul pružné síly vznikající při deformaci tělesa je úměrný jeho prodloužení. Tažnost je charakteristika deformovatelnosti materiálu, hodnocená zvětšením délky vzorku tohoto materiálu při natahování. Elastická síla je síla, která vzniká při deformaci tělesa a působí proti této deformaci. Napětí je mírou vnitřních sil, které vznikají v deformovatelném tělese vlivem vnějších vlivů. Deformace je změna vzájemné polohy částic tělesa spojená s jejich vzájemným pohybem. Tyto pojmy spolu souvisí tzv. koeficientem tuhosti. Záleží na elastických vlastnostech materiálu a velikosti těla.

Vyjádření zákona:

Hookeův zákon je rovnicí teorie pružnosti, která dává do vztahu napětí a deformaci pružného prostředí.

Formulace zákona je taková, že pružná síla je přímo úměrná deformaci.

Matematické vyjádření zákona:

Pro tenkou tahovou tyč má Hookův zákon tvar:

Tady F tažná síla tyče, Δ l- jeho prodloužení (komprese) a k volal koeficient pružnosti(nebo tuhost). Mínus v rovnici udává, že tažná síla je vždy směrována ve směru opačném k deformaci.

Pokud zadáte relativní prodloužení

a normálové napětí v průřezu

pak bude Hookův zákon napsán takto

V této podobě platí pro jakékoliv malé objemy hmoty.

V obecném případě jsou napětí a deformace tenzory druhé řady v trojrozměrném prostoru (každý má 9 složek). Tenzor elastických konstant, které je spojují, je tenzorem čtvrté řady C ijkl a obsahuje 81 koeficientů. Kvůli symetrii tenzoru C ijkl, stejně jako tenzory napětí a deformace, pouze 21 konstant je nezávislých. Hookův zákon vypadá takto:

kde σ ij- tenzor napětí, - tenzor deformace. U izotropního materiálu je to tenzor C ijkl obsahuje pouze dva nezávislé koeficienty.

Jak byl zákon objeven: na základě experimentálních dat nebo teoreticky:

Zákon objevil v roce 1660 anglický vědec Robert Hooke (Hook) na základě pozorování a experimentů. Objev, jak uvádí Hooke ve své eseji „De potentia restitutiva“, publikované v roce 1678, učinil on o 18 let dříve a v roce 1676 byl umístěn v další z jeho knih pod rouškou anagramu „ceiiinosssttuv“, což znamená „Ut tensio sic vis“ . Výše uvedený zákon úměrnosti se podle výkladu autora vztahuje nejen na kovy, ale i na dřevo, kameny, rohovinu, kosti, sklo, hedvábí, vlasy atp.

Zkušená fakta, na základě kterých byl zákon formulován:

Historie o tom mlčí..

Experimenty potvrzující platnost zákona formulovaného na základě teorie:

Zákon je formulován na základě experimentálních dat. Při natahování těla (drátu) s určitým koeficientem tuhosti k do vzdálenosti Δ l, pak se jejich součin bude co do velikosti rovnat síle natahující těleso (drát). Tento vztah však bude platit ne pro všechny deformace, ale pro malé. Při velkých deformacích přestává platit Hookův zákon a tělo se zhroutí.

Příklady použití zákona a zohlednění účinku zákona v praxi:

Jak vyplývá z Hookova zákona, prodloužení pružiny lze použít k posouzení síly, která na ni působí. Této skutečnosti se využívá k měření sil pomocí dynamometru - pružiny s lineární stupnicí cejchovanou pro různé hodnoty síly.

Literatura.

1. Internetové zdroje: - webové stránky Wikipedie (http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%93%D1%83 % D0%BA%D0%B0).

2. učebnice fyziky Peryshkin A.V. 9. třída

3. učebnice fyziky V.A. Kasjanov 10. třída

4. přednášky z mechaniky Rjabuškin D.S.

Působení vnějších sil na pevné těleso vede ke vzniku napětí a deformací v bodech jeho objemu. V tomto případě napjatý stav v bodě, vztah mezi napětími v různých oblastech procházejících tímto bodem, jsou určeny rovnicemi statiky a nezávisí na fyzikálních vlastnostech materiálu. Deformovaný stav, vztah mezi posuny a deformacemi, se stanoví pomocí geometrických nebo kinematických úvah a také nezávisí na vlastnostech materiálu. Aby bylo možné stanovit vztah mezi napětími a deformacemi, je nutné vzít v úvahu skutečné vlastnosti materiálu a podmínky zatížení. Na základě experimentálních dat jsou vyvíjeny matematické modely popisující vztahy mezi napětími a deformacemi. Tyto modely musí s dostatečnou přesností odrážet skutečné vlastnosti materiálů a podmínky zatížení.

Nejběžnější modely pro konstrukční materiály jsou elasticita a plasticita. Elasticita je vlastnost tělesa měnit tvar a velikost pod vlivem vnějších zatížení a obnovit svou původní konfiguraci, když je zatížení odstraněno. Matematicky je vlastnost pružnosti vyjádřena stanovením funkčního vztahu jedna ku jedné mezi složkami tenzoru napětí a tenzoru deformace. Vlastnost pružnosti odráží nejen vlastnosti materiálů, ale také podmínky zatížení. U většiny konstrukčních materiálů se vlastnost pružnosti projevuje při středních hodnotách vnějších sil vedoucích k malým deformacím a při nízkých rychlostech zatěžování, kdy jsou ztráty energie vlivem teplotních vlivů zanedbatelné. Materiál se nazývá lineárně elastický, pokud jsou složky tenzoru napětí a tenzoru deformace spojeny lineárními vztahy.

Při vysokých úrovních zatížení, kdy v tělese dochází k výrazným deformacím, materiál částečně ztrácí své elastické vlastnosti: při nezatížení se zcela neobnoví jeho původní rozměry a tvar a při úplném odstranění vnějšího zatížení jsou zaznamenány zbytkové deformace. V tomto případě vztah mezi napětími a deformacemi přestává být jednoznačný. Tato hmotná vlastnost se nazývá plasticity. Zbytkové deformace nahromaděné při plastické deformaci se nazývají plastické.

Vysoké úrovně zatížení mohou způsobit destrukce, tj. rozdělení těla na části. Pevné látky vyrobené z různých materiálů selhávají při různé velikosti deformace. Lom je při malých deformacích křehký a vyskytuje se zpravidla bez znatelných plastických deformací. Taková destrukce je typická pro litinu, legované oceli, beton, sklo, keramiku a některé další konstrukční materiály. Nízkouhlíkové oceli, neželezné kovy a plasty se vyznačují plastickým typem porušení za přítomnosti významných zbytkových deformací. Rozdělení materiálů na křehké a tažné podle charakteru jejich destrukce je však velmi libovolné, obvykle se vztahuje k některým standardním provozním podmínkám. Stejný materiál se může chovat v závislosti na podmínkách (teplota, povaha zatížení, technologie výroby atd.) jako křehký nebo tažný. Například materiály, které jsou za normálních teplot plastové, se při nízkých teplotách rozpadají jako křehké. Proto je správnější hovořit nikoli o křehkých a plastických materiálech, ale o křehkém nebo plastickém stavu materiálu.

Nechť je materiál lineárně elastický a izotropní. Uvažujme elementární objem za podmínek jednoosého stavu napětí (obr. 1), takže tenzor napětí má tvar

Při takovém zatížení se rozměry zvětšují ve směru osy Ach, vyznačující se lineární deformací, která je úměrná velikosti napětí

Obr. 1. Jednoosý stav napětí

Tento vztah je matematický zápis Hookův zákon stanovení proporcionálního vztahu mezi napětím a odpovídající lineární deformací ve stavu jednoosého napětí. Koeficient úměrnosti E se nazývá podélný modul pružnosti nebo Youngův modul. Má to rozměr stresu.

Spolu s nárůstem velikosti ve směru působení; Při stejném napětí dochází ke zmenšení velikosti ve dvou ortogonálních směrech (obr. 1). Odpovídající deformace označujeme a a tyto deformace jsou negativní, zatímco pozitivní a jsou úměrné:

Při současném působení napětí podél tří ortogonálních os, kdy neexistují žádná tangenciální napětí, platí pro lineárně pružný materiál princip superpozice (superpozice řešení):

Vezmeme-li v úvahu vzorce (1 4), dostaneme

Tangenciální napětí způsobují úhlové deformace a při malých deformacích neovlivňují změnu lineárních rozměrů, a tedy lineární deformace. Platí tedy i v případě libovolného napěťového stavu a vyjadřují tzv zobecněný Hookův zákon.

Úhlová deformace je způsobena tangenciálním napětím a deformace a , respektive napětími a. Pro lineárně elastické izotropní těleso existují proporcionální vztahy mezi odpovídajícími tečnými napětími a úhlovými deformacemi

které vyjadřují zákon Hookův střih. Faktor úměrnosti G se nazývá smykový modul. Je důležité, aby normálové napětí neovlivnilo úhlové deformace, protože v tomto případě se mění pouze lineární rozměry segmentů, nikoli úhly mezi nimi (obr. 1).

Existuje také lineární vztah mezi průměrným napětím (2.18), úměrným prvnímu invariantu tenzoru napětí, a objemovým přetvořením (2.32), které se shoduje s prvním invariantem tenzoru přetvoření:

Obr.2. Rovinné smykové přetvoření

Odpovídající faktor proporcionality NA volal objemový modul pružnosti.

Vzorce (1 7) zahrnují elastické charakteristiky materiálu E, , G A NA, určení jeho elastických vlastností. Tyto vlastnosti však nejsou nezávislé. Pro izotropní materiál existují dvě nezávislé elastické charakteristiky, které se obvykle volí jako modul pružnosti E a Poissonův poměr. K vyjádření smykového modulu G přes E A , Uvažujme rovinnou smykovou deformaci při působení tečných napětí (obr. 2). Pro zjednodušení výpočtů používáme čtvercový prvek se stranou A. Pojďme vypočítat hlavní napětí , . Tato napětí působí na oblasti umístěné pod úhlem k původním oblastem. Z Obr. 2 najdeme vztah mezi lineární deformací ve směru napětí a úhlovou deformací . Hlavní úhlopříčka kosočtverce, charakterizující deformaci, je rovna

Pro malé deformace

Vezmeme-li tyto vztahy v úvahu

Před deformací měla tato úhlopříčka rozměr . Pak budeme mít

Ze zobecněného Hookova zákona (5) dostáváme

Porovnání výsledného vzorce se zápisem Hookova zákona pro posun (6) dává

Jako výsledek dostáváme

Porovnáním tohoto výrazu s Hookovým objemovým zákonem (7) dojdeme k výsledku

Mechanické vlastnosti E, , G A NA jsou zjištěny po zpracování experimentálních dat ze zkušebních vzorků při různých typech zatížení. Z fyzikálního hlediska nemohou být všechny tyto vlastnosti negativní. Z posledního výrazu navíc vyplývá, že Poissonův poměr pro izotropní materiál nepřesahuje 1/2. Získáme tak následující omezení pro elastické konstanty izotropního materiálu:

Mezní hodnota vede k mezní hodnotě , což odpovídá nestlačitelnému materiálu (at). Na závěr ze vztahů pružnosti (5) vyjádříme napětí z hlediska deformace. Zapišme první ze vztahů (5) ve tvaru

Pomocí rovnosti (9) budeme mít

Podobné vztahy lze odvodit pro a . Jako výsledek dostáváme

Zde použijeme vztah (8) pro smykový modul. Navíc označení

POTENCIÁLNÍ ENERGIE ELASTICKÉ DEFORMACE

Podívejme se nejprve na základní objem dV=dxdydz za podmínek jednoosého napětí (obr. 1). Psychicky opravit web x=0(obr. 3). Na protilehlou plochu působí síla . Tato síla působí na přemístění . Když se napětí zvýší z nulové úrovně na hodnotu odpovídající deformace v důsledku Hookova zákona se také zvyšuje z nuly na hodnotu , a práce je úměrná stínovanému obrázku na Obr. 4 čtverce: . Pokud zanedbáme kinetickou energii a ztráty spojené s tepelnými, elektromagnetickými a jinými jevy, pak se díky zákonu zachování energie provedená práce promění v potenciální energie, nahromaděné během deformace: . Hodnota Ф= dU/dV volal měrná potenciální energie deformace, mající význam potenciální energie akumulované v jednotkovém objemu tělesa. V případě jednoosého napjatého stavu